Решение линейного уравнения

Мне нужно программно решить систему линейных уравнений в C, Objective C или (при необходимости) C++.

Вот пример уравнений:

-44.3940 = a * 50.0 + b * 37.0 + tx
-45.3049 = a * 43.0 + b * 39.0 + tx
-44.9594 = a * 52.0 + b * 41.0 + tx

Исходя из этого, я хотел бы получить наилучшее приближение a, b и tx .

Ответов (10)

Решение

Правило Крамера и метод исключения Гаусса - два хороших универсальных алгоритма (см. Также « Одновременные линейные уравнения» ). Если вы ищете код, обратите внимание на GiNaC , Maxima и SymbolicC++ (конечно, в зависимости от ваших лицензионных требований).

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я знаю, что вы работаете в стране C, но я также должен замолвить словечко о SymPy (системе компьютерной алгебры на Python). Вы можете многому научиться из его алгоритмов (если вы немного умеете читать на Python). Кроме того, он находится под новой лицензией BSD, в то время как большинство бесплатных математических пакетов являются GPL.

Вы можете решить это с помощью программы точно так же, как вы решаете это вручную (с умножением и вычитанием, а затем возвращением результатов в уравнения). Это довольно стандартная математика средней школы.

-44.3940 = 50a + 37b + c (A)
-45.3049 = 43a + 39b + c (B)
-44.9594 = 52a + 41b + c (C)

(A-B): 0.9109 =  7a -  2b (D)
(B-C): 0.3455 = -9a -  2b (E)

(D-E): 1.2564 = 16a (F)

(F/16):  a = 0.078525 (G)

Feed G into D:
       0.9109 = 7a - 2b
    => 0.9109 = 0.549675 - 2b (substitute a)
    => 0.361225 = -2b (subtract 0.549675 from both sides)
    => -0.1806125 = b (divide both sides by -2) (H)

Feed H/G into A:
       -44.3940 = 50a + 37b + c
    => -44.3940 = 3.92625 - 6.6826625 + c (substitute a/b)
    => -41.6375875 = c (subtract 3.92625 - 6.6826625 from both sides)

Итак, вы получите:

a =   0.0785250
b =  -0.1806125
c = -41.6375875

Если вы вставите эти значения обратно в A, B и C, вы обнаружите, что они верны.

Уловка состоит в том, чтобы использовать простую матрицу 4x3, которая, в свою очередь, сводится к матрице 3x2, а затем к 2x1, которая равна «a = n», где n - фактическое число. Как только у вас есть это, вы вводите его в следующую матрицу, чтобы получить другое значение, затем эти два значения в следующую матрицу, пока вы не решите все переменные.

Если у вас есть N различных уравнений, вы всегда можете решить для N переменных. Я говорю отличное, потому что этих двоих нет:

 7a + 2b =  50
14a + 4b = 100

Это одно и то же уравнение, умноженное на два, поэтому вы не можете получить из них решение - умножение первого на два и последующее вычитание дает вам истинное, но бесполезное утверждение:

0 = 0 + 0

В качестве примера, вот некоторый код C, который обрабатывает одновременные уравнения, которые вы помещаете в свой вопрос. Сначала некоторые необходимые типы, переменные, вспомогательная функция для печати уравнения и начало main :

#include <stdio.h>

typedef struct { double r, a, b, c; } tEquation;
tEquation equ1[] = {
    { -44.3940,  50, 37, 1 },      // -44.3940 = 50a + 37b + c (A)
    { -45.3049,  43, 39, 1 },      // -45.3049 = 43a + 39b + c (B)
    { -44.9594,  52, 41, 1 },      // -44.9594 = 52a + 41b + c (C)
};
tEquation equ2[2], equ3[1];

static void dumpEqu (char *desc, tEquation *e, char *post) {
    printf ("%10s: %12.8lf = %12.8lfa + %12.8lfb + %12.8lfc (%s)\n",
        desc, e->r, e->a, e->b, e->c, post);
}

int main (void) {
    double a, b, c;

Затем приведение трех уравнений с тремя неизвестными к двум уравнениям с двумя неизвестными:

    // First step, populate equ2 based on removing c from equ.

    dumpEqu (">", &(equ1[0]), "A");
    dumpEqu (">", &(equ1[1]), "B");
    dumpEqu (">", &(equ1[2]), "C");
    puts ("");

    // A - B
    equ2[0].r = equ1[0].r * equ1[1].c - equ1[1].r * equ1[0].c;
    equ2[0].a = equ1[0].a * equ1[1].c - equ1[1].a * equ1[0].c;
    equ2[0].b = equ1[0].b * equ1[1].c - equ1[1].b * equ1[0].c;
    equ2[0].c = 0;

    // B - C
    equ2[1].r = equ1[1].r * equ1[2].c - equ1[2].r * equ1[1].c;
    equ2[1].a = equ1[1].a * equ1[2].c - equ1[2].a * equ1[1].c;
    equ2[1].b = equ1[1].b * equ1[2].c - equ1[2].b * equ1[1].c;
    equ2[1].c = 0;

    dumpEqu ("A-B", &(equ2[0]), "D");
    dumpEqu ("B-C", &(equ2[1]), "E");
    puts ("");

Затем приведение двух уравнений с двумя неизвестными к одному уравнению с одним неизвестным:

    // Next step, populate equ3 based on removing b from equ2.

    // D - E
    equ3[0].r = equ2[0].r * equ2[1].b - equ2[1].r * equ2[0].b;
    equ3[0].a = equ2[0].a * equ2[1].b - equ2[1].a * equ2[0].b;
    equ3[0].b = 0;
    equ3[0].c = 0;

    dumpEqu ("D-E", &(equ3[0]), "F");
    puts ("");

Теперь, когда у нас есть формула этого типа number1 = unknown * number2, мы можем просто вычислить неизвестное значение с помощью unknown <- number1 / number2 . Затем, когда вы вычислили это значение, подставьте его в одно из уравнений с двумя неизвестными и определите второе значение. Затем замените оба этих (теперь известных) неизвестных в одно из исходных уравнений, и теперь у вас есть значения для всех трех неизвестных:

    // Finally, substitute values back into equations.

    a = equ3[0].r / equ3[0].a;
    printf ("From (F    ), a = %12.8lf (G)\n", a);

    b = (equ2[0].r - equ2[0].a * a) / equ2[0].b;
    printf ("From (D,G  ), b = %12.8lf (H)\n", b);

    c = (equ1[0].r - equ1[0].a * a - equ1[0].b * b) / equ1[0].c;
    printf ("From (A,G,H), c = %12.8lf (I)\n", c);

    return 0;
}

Результат этого кода соответствует предыдущим вычислениям в этом ответе:

         >: -44.39400000 =  50.00000000a +  37.00000000b +   1.00000000c (A)
         >: -45.30490000 =  43.00000000a +  39.00000000b +   1.00000000c (B)
         >: -44.95940000 =  52.00000000a +  41.00000000b +   1.00000000c (C)

       A-B:   0.91090000 =   7.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (D)
       B-C:  -0.34550000 =  -9.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (E)

       D-E:  -2.51280000 = -32.00000000a +   0.00000000b +   0.00000000c (F)

From (F    ), a =   0.07852500 (G)
From (D,G  ), b =  -0.18061250 (H)
From (A,G,H), c = -41.63758750 (I)
function x = LinSolve(A,y)
%
% Recursive Solution of Linear System Ax=y
% matlab equivalent: x = A\y 
% x = n x 1
% A = n x n
% y = n x 1
% Uses stack space extensively. Not efficient.
% C allows recursion, so convert it into C. 
% ----------------------------------------------
n=length(y);
x=zeros(n,1);
if(n>1)
    x(1:n-1,1) = LinSolve( A(1:n-1,1:n-1) - (A(1:n-1,n)*A(n,1:n-1))./A(n,n) , ...
                           y(1:n-1,1) - A(1:n-1,n).*(y(n,1)/A(n,n))); 
    x(n,1) = (y(n,1) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))./A(n,n); 
else
    x = y(1,1) / A(1,1);
end

Вы ищете программный пакет, который будет выполнять эту работу или фактически выполняет матричные операции и тому подобное и выполняет каждый шаг?

Первый, мой коллега, только что использовал Ocaml GLPK . Это просто оболочка для GLPK , но она удаляет множество шагов по настройке. Однако похоже, что вам придется придерживаться GLPK на C. Что касается последнего, спасибо вкусно за сохранение старой статьи, которую я некоторое время назад изучал LP, PDF . Если вам нужна конкретная помощь в настройке, дайте нам знать, и я уверен, что я или кто-то вернусь и помогу, но, я думаю, отсюда все довольно просто. Удачи!

Думаю, для системы линейных уравнений 3x3 было бы нормально развернуть свои собственные алгоритмы.

Однако вам, возможно, придется беспокоиться о точности, делении на ноль или действительно малых числах и о том, что делать с бесконечным количеством решений. Я предлагаю использовать стандартный пакет числовой линейной алгебры, такой как LAPACK .

Лично я неравнодушен к алгоритмам числовых рецептов . (Мне нравится редакция C++.)

Эта книга научит вас, почему алгоритмы работают, а также покажет несколько хорошо отлаженных реализаций этих алгоритмов.

Конечно, вы могли бы просто вслепую использовать CLAPACK (я использовал его с большим успехом), но я бы сначала напечатал алгоритм исключения Гаусса, чтобы хотя бы иметь слабое представление о том, какая работа была проделана для создания этих алгоритмов. стабильный.

Позже, если вы будете заниматься более интересной линейной алгеброй, просмотр исходного кода Octave ответит на множество вопросов.

В Template Numerical Toolkit от NIST есть инструменты для этого.

Один из более надежных способов - использовать QR-разложение .

Вот пример оболочки, чтобы я мог вызвать «GetInverse (A, InvA)» в моем коде, и он поместит обратное в InvA.

void GetInverse(const Array2D<double>& A, Array2D<double>& invA)
   {
   QR<double> qr(A);  
   invA = qr.solve(I); 
   }

Array2D определен в библиотеке.

Судя по формулировке вашего вопроса, кажется, что у вас больше уравнений, чем неизвестных, и вы хотите минимизировать несоответствия. Обычно это делается с помощью линейной регрессии, которая сводит к минимуму сумму квадратов несоответствий. В зависимости от размера данных вы можете сделать это в электронной таблице или в статистическом пакете. R - это высококачественный бесплатный пакет, который, помимо прочего, выполняет линейную регрессию. В линейной регрессии много (и много подводных камней), но в простых случаях это просто сделать. Вот пример R с вашими данными. Обратите внимание, что «tx» - это точка пересечения с вашей моделью.

> y <- c(-44.394, -45.3049, -44.9594)
> a <- c(50.0, 43.0, 52.0)
> b <- c(37.0, 39.0, 41.0)
> regression = lm(y ~ a + b)
> regression

Call:
lm(formula = y ~ a + b)

Coefficients:
(Intercept)            a            b  
  -41.63759      0.07852     -0.18061  

Что касается эффективности времени выполнения, другие ответили лучше, чем я. Если у вас всегда будет одинаковое количество уравнений в качестве переменных, мне нравится правило Крамера, поскольку его легко реализовать. Просто напишите функцию для вычисления определителя матрицы (или используйте уже написанную, я уверен, что вы ее найдете) и разделите определители двух матриц.

Взгляните на Microsoft Solver Foundation .

С его помощью вы могли написать такой код:

  SolverContext context = SolverContext.GetContext();
  Model model = context.CreateModel();

  Decision a = new Decision(Domain.Real, "a");
  Decision b = new Decision(Domain.Real, "b");
  Decision c = new Decision(Domain.Real, "c");
  model.AddDecisions(a,b,c);
  model.AddConstraint("eqA", -44.3940 == 50*a + 37*b + c);
  model.AddConstraint("eqB", -45.3049 == 43*a + 39*b + c);
  model.AddConstraint("eqC", -44.9594 == 52*a + 41*b + c);
  Solution solution = context.Solve();
  string results = solution.GetReport().ToString();
  Console.WriteLine(results); 

Вот результат:
=== Отчет службы Solver Foundation ===
Дата и время: 20.04.2009 23:29:55
Название модели:
Запрошенные возможности по умолчанию :
Время решения LP (мс): 1027
Общее время (мс): 1414
Решение Статус завершения:
выбран оптимальный решатель: Microsoft.SolverFoundation.Solvers.SimplexSolver
Директивы:
Microsoft.SolverFoundation.Services.Directive
Алгоритм: первичная
арифметика: гибридное
ценообразование (точное):
ценообразование по умолчанию (двойное): SteepestEdge
Basis: Slack
Pivot Count: 3
== = Детали решения ===
Цели:

Решения:
a: 0,0785250000000004
b: -0,180612500000001
c: -41,6375875