Возможный бесконечный цикл в математическом уравнении?

У меня возникла следующая проблема, и я не могу понять часть уравнения:

Методы Монте-Карло для оценки интеграла в основном берут множество случайных выборок и определяют средневзвешенное значение. Например, интеграл от f (x) можно оценить из N независимых случайных выборок x r следующим образом:

альтернативный текст http://www.goftam.com/images/area.gif

для равномерного распределения вероятностей xr в диапазоне [x1, x2]. Поскольку каждая оценка функции f (xr) независима, эту работу легко распределить по набору процессов.

Я не понимаю, что должен делать f (x r )? Связано ли это с тем же уравнением? Разве это не был бы бесконечный цикл?

Ответов (5)

Решение

Ваша цель - вычислить интеграл f от x1 до x2 . Например, вы можете вычислить интеграл sin(x) от 0 до pi .

Используя интегрирование по методу Монте-Карло, вы можете аппроксимировать это путем выборки случайных точек в интервале [x1,x2] и оценки f в этих точках. Возможно, вы хотели бы назвать это MonteCarloIntegrate( f, x1, x2 ) .

Так что нет, MonteCarloIntegrate не «откликается» на себя. Он вызывает функцию f, функцию, которую вы пытаетесь интегрировать численно, например sin .

Он должен сказать f (x i )

f () - это функция, которую мы пытаемся интегрировать с помощью численного метода Монте-Карло, который оценивает интеграл (и его ошибку) путем оценки случайно выбранных точек из области интегрирования.

Ref .

Неважно, x i или x r - это случайное число, которое мы вводим в функцию f ().

Я, скорее всего, напишу функцию (помимо форматирования) следующим образом:

(x 2 -x 1 ) * сумма (f (x i )) / N

Таким образом, мы можем видеть, что мы берем среднее значение из N выборок f (x), чтобы получить среднюю высоту функции, а затем умножаем ее на ширину (x2-x1).

Потому что, в конце концов, интегрирование - это просто вычисление площади под кривой. (Хорошие картинки на http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/integ.html#c4 .

x_r - случайное значение из диапазона интеграла.

Подстановка Random (x_1, x_2) вместо x_r даст эквивалентное уравнение.

Заменить f(x_r) на f(x_r_i) (читать: F оценивается в x суб r суб i ). Они r_i выбираются равномерно случайным образом из интервала [x_1, x_2] .

Дело заключается в следующем: площадь под f на [x_1, x_2] равное (x_2 - x_1) время в среднем f на отрезке [x_1, x_2] . То есть

A = (x_2 - x_1) * [(1 / (x_2 - x_1)) * int_{x_1}^{x_2} f(x)\, dx]

Часть в квадратных скобках представляет собой среднее значение f на [x_1, x_2] которое мы будем обозначать avg(f) . Как мы можем оценить среднее значение f ? Путем выборки его в N случайных точках и взятия среднего значения, f оцененного в этих случайных точках. А именно:

avg(f) ~ (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)

где x_r_1, x_r_2, ..., x_r_N точки выбираются равномерно случайным образом из [x_1, x_2].

потом

A = (x_2 - x_1) * avg(f) ~ (x_2 - x_1) * (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i).

Вот еще один способ подумать об этом уравнении: площадь под f интервалом [x_1, x_2] такая же, как площадь прямоугольника, длина (x_2 - x_1) и высота которого равны средней высоте f . Средняя высота f составляет примерно

(1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)

это ценность, которую мы создали ранее.